Η μαθηματική περιγραφή της επιδημίας για αρχάριους

Careers without Mathematics

Γράφουν οι Ηλίας Ιωακείμογλου και Γιώργος Γαλανής

Το ζήτημα με ποιο τρόπο αναπτύσσεται μια επιδημία και πώς μπορούμε να τη θέσουμε υπό έλεγχο, έχει λυθεί ως μαθηματικό πρόβλημα εκατοντάδες φορές από χιλιάδες μαθηματικούς και επιδημιολόγους, και άλλες τόσες φορές τα αποτελέσματα των μαθηματικών μοντέλων έχουν επαληθευθεί από τα απολογιστικά στοιχεία. Εάν δεν επαληθεύονταν, οι μαθηματικές αναλύσεις της επιδημιολογίας θα είχαν ήδη απορριφθεί, όπως γίνεται σε όλες τις επιστήμες.

Παρόλα αυτά στη διάρκεια της τρέχουσας επιδημίας, οι πιο τολμηροί μεταξύ των ανορθολογικών (δηλαδή μεταξύ αυτών που έχουν υψηλότερο εκπαιδευτικό επίπεδο και για αυτό υπέρμετρη αυτοπεποίθηση) έφτασαν στο σημείο να αμφισβητήσουν τις μαθηματικές αναλύσεις της επιδημιολογίας ή τους όρους της εφαρμογής τους, φτάνοντας ακόμη και στο σημείο να προτείνουν δικές τους, υποτίθεται νέες, μεθόδους, όπως π.χ. κάποιος στην Ελλάδα που επάνω στον οίστρο του ήθελε να αποδείξει ότι οι μαθηματικές αναλύσεις δεν μπορούν να στηρίξουν την αναγκαιότητα της καραντίνας, πρότεινε μια έρευνα πολύ συστηματική για κάθε χώρα, ανά ηλικιακή κατηγορία, περιοχή και άλλες μεταβλητές, και τον αριθμό συναναστροφών ανά άτομο: σαν να λέμε να μετρήσουμε την περιφέρεια της γης με τη μεζούρα του ράφτη. Αυτό μεμιάς μας στέλνει πολλούς αιώνες πίσω, πριν από τον Θαλή, όταν ακόμη το τρίγωνο δεν υπήρχε ως αφηρημένη έννοια, και βεβαίως όταν ακόμη δεν υπήρχαν η θεωρία των πιθανοτήτων και οι στατιστικές μέθοδοι, χάρη στις οποίες δεν χρειάζονται τέτοιες εξαντλητικές έρευνες αλλά προσεκτική συλλογή μικρών αλλά αντιπροσωπευτικών δειγμάτων. Γι’ αυτό εξάλλου έχουμε τη θεωρία πιθανοτήτων και τη θεωρία της στατιστικής που κάνουν μια χαρά τη δουλειά τους στη επιδημιολογία, στην οικολογία και στις άλλες φυσικές επιστήμες, όπου χρησιμοποιούμε μάλιστα τα ίδια μαθηματικά μοντέλα (1), στα οποία ασκούν κριτική οι ψεκασμένοι, άξεστοι ή εμβριθείς αδιακρίτως.

Επειδή οι ψεκασμένες θεωρίες στη διάρκεια της τρέχουσας επιδημίας εμφάνισαν απροσδόκητη και μεγάλη δημοφιλία και ισχύ, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε όλοι τη δυναμική της επιδημίας, ως μια μορφή άμυνας στην άνοδο του ανορθολογισμού ακόμα και μέσα στις γραμμές της Αριστεράς.

Όμως, το ενδιαφέρον να κατανοήσουμε τη δυναμική της επιδημίας δεν περιορίζεται μόνο σε αυτό˙ είναι επίσης σημαντικό να κατανοήσουμε τη δυναμική της επιδημίας, διότι αυτό μας επιτρέπει να απαριθμήσουμε με σαφήνεια το σύνολο των παραγόντων και των όρων που υπεισέρχονται στην προσπάθεια εξάλειψης της επιδημίας, τη σειρά με την οποία “μπαίνουν στο παιχνίδι” και τον συμπληρωματικό χαρακτήρα που έχουν ώστε να μπορούμε να αποτιμήσουμε δήθεν θαυματουργές λύσεις που εκκινούν από τη λανθασμένη και αυθαίρετη υπόθεση ότι οι παράγοντες επέκτασης/περιορισμού της επιδημίας δεν είναι συμπληρωματικοί αλλά μπορούν να υποκαταστήσουν ο ένας τον άλλο (όπως π.χ. αύξηση των δημοσίων δαπανών υγείας έναντι του lockdown).

Η περιγραφή της δυναμικής της επιδημίας με ένα μαθηματικό μοντέλο (2) μάς επιτρέπει να δούμε ευκρινώς με ποιον τρόπο εμπλέκονται στη διαδικασία επέκτασης της επιδημίας οι διάφοροι παράγοντες ανάσχεσής της. Ωστόσο, επειδή δεν είμαστε όλοι εξοικειωμένοι με τη μαθηματική τυποποίηση, πρέπει με κάποιο τρόπο να υπερβούμε τα εμπόδια που αυτή θέτει στην κατανόηση όσων έχει να μας μάθουν τα μαθηματικά μοντέλα της επιδημίας.

Ένας τρόπος για να επιτύχουμε αυτό είναι να χρησιμοποιήσουμε ένα φυσικό ανάλογο. δηλαδή κάτι από τη φύση, ένα φυσικό σύστημα, το οποίο να έχει τις εξής ιδιότητες: Πρώτον, ο τρόπος ύπαρξής του, η λειτουργία του, να είναι οικεία σε εμάς από την καθημερινή ζωή, και δεύτερον, η λειτουργία του, η δυναμική του, να προσομοιάζει με τον τρόπο που εξελίσσεται μια επιδημία. Λέγοντας ότι πρέπει να προσομοιάζει με την επιδημία σημαίνει να μπορούμε να το περιγράψουμε με τις ακριβώς ίδιες μαθηματικές σχέσεις που περιγράφουμε αυτήν. Διαλέξαμε λοιπόν ως ένα τέτοιο φυσικό ανάλογο για την προσομοίωση της επιδημίας ένα υδραυλικό σύστημα δεξαμενών. Για να κάνουμε τα πράγματα ευκολότερα, εκτιμήσαμε ότι θα ήταν χρήσιμο η έκθεσή μας να μην έχει τη μορφή κειμένου αλλά την μορφή παρουσίασης με διαφάνειες.

Η μέθοδος αυτή, που διαλέξαμε για να πούμε τα πράγματα απλά και κατανοητά από όλους, δεν διασφαλίζει ωστόσο ότι η δυναμική της επιδημίας γίνεται κατανοητή με πολύ εύκολο τρόπο. Εξηγώντας τα πράγματα με ένα φυσικό ανάλογο τα κάνουμε μεν απλούστερα αλλά πάλι απαιτείται μια κάποια προσπάθεια από τον αναγνώστη, να διαθέσει λίγο χρόνο και να σταματήσει για λίγο να σκεφτεί αυτό που διαβάζει. Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι στο τέλος της προσπάθειας ανταμείβει τον αναγνώστη με την πλήρη κατανόηση όσων διάβασε, ενώ η μαθηματική τυποποίηση με την οποία συνήθως εκτίθεται η δυναμική των επιδημιών αποτελεί απόλυτο και αξεπέραστο εμπόδιο για όποιον διατηρεί απόσταση από τα μαθηματικά.

Η μέθοδος που διαλέξαμε επιτρέπει λοιπόν σε όλους να κάνουν κτήμα τους ένα σύστημα αναφοράς για την τρέχουσα επιδημία, να μπορούν να κατανοούν τη φύση και την αξία των πληροφοριών και των επιχειρημάτων που διατυπώνονται αριστερά και δεξιά, εφόσον βέβαια δεν αναζητούν ένα εύκολο ανάγνωσμα.

Για να βοηθήσουμε την ανάγνωση ώστε να γίνει ευκολότερη, διαλέξαμε αντί κειμένου να ετοιμάσουμε μια παρουσίαση με διαφάνειες. Αυτή βρίσκεται στη σελίδα μας σε αρχεία Acrobat (.pdf), Keynote (.key(Apple).


***

(1) Για μια λεπτομερή παρουσίαση της δυναμικής της επιδημίας βλ. στο
Yan P. & Chowell G. (2004), Quantitative Methods for Investigating Infectious Disease Outbreaks, Springer.
Επίσης,
Baskozos G., Galanis G., Di Guilmi C. (2020), A Behavioural SIR Model and its Implications for Physical Distancing, Warwick, CRETA, Discussion Paper Series no 58, June
και
Baskozos G., Galanis G., Di Guilmi C. (2020), Social distancing and contagion in a discrete choice model of COVID-19. Warwick, CRETA, Discussion Paper Series no 57, April.

(2) Το πιο διαδεδομένο από αυτά τα μοντέλα είναι βασισμένο στην ερευνητική δουλειά των Kermack and McKendrick (1927, ‘A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics’, Proceedings of the Royal Society of London, Series A 115(772): pp.700–721) και είναι γνωστό ως μοντέλο SIR, όπου τα γράμματα αναφέρονται στις κατηγορίες ευπαθείς (Susceptible), ασθενείς (Infected) και διαγραμμένοι (Removed). Ευπαθή, είναι τα υγιή άτομα τα οποία τα οποία μπορούν να μολυνθούν αν έρθουν σε (κοντινή) επαφή με ασθενή άτομα. Ένα ασθενές άτομο μετά από κάποιο χρονικό διάστημα διαγράφεται.

*Το άρθρο δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά στις 7.1.2021 στον ιστότοπο ‘Commune’. Αναδημοσιεύεται στην ιστοσελίδα της «Κόκκινης» με την άδεια των αρθρογράφων.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s